ادامه حل تمرین صفحه 22 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 7 صفحه 22 ریاضی دوازدهم ### الف) $h(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}$ تابع $h(x)$ شامل دو عمل اصلی است: جمع $x^2$ با $1$، و سپس ریشه سوم گرفتن از نتیجه. **تجزیه متداول (جواب اصلی):** * **تابع درونی (هسته):** $g(x) = x^2 + 1$ * **تابع بیرونی:** $f(x) = \sqrt[3]{x}$ $$\text{بررسی: } (f \circ g)(x) = f(x^2 + 1) = \sqrt[3]{x^2 + 1} = h(x)$$ **تجزیه جایگزین (اثبات عدم انحصار):** * **تابع درونی:** $g_1(x) = x^2$ * **تابع بیرونی:** $f_1(x) = \sqrt[3]{x + 1}$ $$\text{بررسی: } (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(x^2) = \sqrt[3]{x^2 + 1} = h(x)$$ ### ب) $l(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ **تجزیه متداول (جواب اصلی):** * **تابع درونی (هسته):** $g(x) = x^2 + 5$ * **تابع بیرونی:** $f(x) = \sqrt{x}$ $$\text{بررسی: } (f \circ g)(x) = f(x^2 + 5) = \sqrt{x^2 + 5} = l(x)$$ **تجزیه جایگزین (اثبات عدم انحصار):** * **تابع درونی:** $g_1(x) = x^2$ * **تابع بیرونی:** $f_1(x) = \sqrt{x + 5}$ $$\text{بررسی: } (f_1 \circ g_1)(x) = f_1(x^2) = \sqrt{x^2 + 5} = l(x)$$ *** ### نتیجه نهایی **پاسخ به سوال: آیا جواب منحصر به فرد است؟** **خیر.** همانطور که در مثال‌های بالا نشان داده شد، می‌توان با تعریف‌های مختلفی از توابع داخلی و خارجی (مانند $g(x)$ و $f(x)$ یا $g_1(x)$ و $f_1(x)$)، به ترکیب یکسانی رسید. بنابراین، تجزیه یک تابع به صورت ترکیب دو تابع، **منحصر به فرد نیست.**

حل تمرین 8 صفحه 22 ریاضی دوازدهم ابتدا ضابطه‌های توابع $f$ و $g$ را از روی نمودار مشخص می‌کنیم: * **تابع $f$:** نمودار $f$ یک خط شکسته است که در $x = -1$ کمینه دارد. ضابطه آن $\mathbf{f(x) = |x + 1|}$ است. * **تابع $g$:** نمودار $g$ یک خط راست با شیب منفی است. از نقاط $(0, -1)$ و $(1, -3)$ می‌گذرد. شیب $m = \frac{-3 - (-1)}{1 - 0} = -2$. عرض از مبدأ $-1$. ضابطه آن $\mathbf{g(x) = -2x - 1}$ است. *** ### الف) $(f \circ g)(1)$ $$(f \circ g)(1) = f(g(1))$$ 1. **محاسبه $g(1)$:** $$g(1) = -2(1) - 1 = -3$$ 2. **محاسبه $f(g(1)) = f(-3)$:** $$f(-3) = |-3 + 1| = |-2| = 2$$ $$\mathbf{(f \circ g)(1) = 2}$$ --- ### ب) $(g \circ f)(0)$ $$(g \circ f)(0) = g(f(0))$$ 1. **محاسبه $f(0)$:** $$f(0) = |0 + 1| = 1$$ 2. **محاسبه $g(f(0)) = g(1)$:** $$g(1) = -2(1) - 1 = -3$$ $$\mathbf{(g \circ f)(0) = -3}$$ --- ### پ) $(f \circ g)(-1)$ $$(f \circ g)(-1) = f(g(-1))$$ 1. **محاسبه $g(-1)$:** $$g(-1) = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$$ 2. **محاسبه $f(g(-1)) = f(1)$:** $$f(1) = |1 + 1| = 2$$ $$\mathbf{(f \circ g)(-1) = 2}$$ --- ### ت) $(g \circ f)(-1)$ $$(g \circ f)(-1) = g(f(-1))$$ 1. **محاسبه $f(-1)$:** $$f(-1) = |-1 + 1| = 0$$ 2. **محاسبه $g(f(-1)) = g(0)$:** $$g(0) = -2(0) - 1 = -1$$ $$\mathbf{(g \circ f)(-1) = -1}$$

حل تمرین 9 صفحه 22 ریاضی دوازدهم ### الف) $(f \circ g)(x) = 7$ 1. **تشکیل ضابطه $(f \circ g)(x)$:** $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3x + 8)$$ $$f(x^2 - 3x + 8) = 2(x^2 - 3x + 8) - 5$$ $$= 2x^2 - 6x + 16 - 5 = 2x^2 - 6x + 11$$ 2. **تشکیل و حل معادله:** $$(f \circ g)(x) = 7$$ $$2x^2 - 6x + 11 = 7$$ $$2x^2 - 6x + 4 = 0$$ $$\text{تقسیم بر } 2 \text{: } x^2 - 3x + 2 = 0$$ $$\text{تجزیه: } (x - 1)(x - 2) = 0$$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 1 \quad \text{و} \quad x = 2}$$ --- ### ب) $(g \circ f)(x) = -5$ 1. **تشکیل ضابطه $(g \circ f)(x)$:** $$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x^2 + x - 1)$$ $$g(3x^2 + x - 1) = 1 - 2(3x^2 + x - 1)$$ $$= 1 - 6x^2 - 2x + 2 = -6x^2 - 2x + 3$$ 2. **تشکیل و حل معادله:** $$(g \circ f)(x) = -5$$ $$-6x^2 - 2x + 3 = -5$$ $$-6x^2 - 2x + 8 = 0$$ $$\text{تقسیم بر } -2 \text{: } 3x^2 + x - 4 = 0$$ $$\text{با استفاده از } a+b+c=0 \text{، جواب‌ها } x=1 \text{ و } x=c/a = -4/3 \text{ هستند.}$$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 1 \quad \text{و} \quad x = -\frac{4}{3}}$$

حل تمرین 10 صفحه 22 ریاضی دوازدهم برای تطبیق ضابطه‌ها با نمودارها، ویژگی‌های اصلی توابع سینوسی/کسینوسی ($y = A \cos(Bx)$) شامل دامنه نوسان ($|A|$)، دوره تناوب ($T = \frac{2\pi}{|B|}$) و جهت اولیه را بررسی می‌کنیم. نمودارها در بازه $[-\pi, 3\pi]$ رسم شده‌اند. | ضابطه | $A$ | $|A|$ (دامنه نوسان) | $B$ | $T = \frac{2\pi}{|B|}$ (دوره تناوب) | جهت اولیه در $x=0$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) $y = -\frac{1}{2}\cos (\frac{1}{2}x)$ | $-1/2$ | $1/2$ | $1/2$ | $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ | $y(0) = -1/2\cos(0) = -1/2$ | | ب) $y = 2\cos 2x$ | $2$ | $2$ | $2$ | $\frac{2\pi}{2} = \pi$ | $y(0) = 2\cos(0) = 2$ | | پ) $y = \cos (\frac{1}{2}x)$ | $1$ | $1$ | $1/2$ | $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ | $y(0) = \cos(0) = 1$ | | ت) $y = -\cos 2x$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $\frac{2\pi}{2} = \pi$ | $y(0) = -\cos(0) = -1$ | *** ### تطبیق نمودارها 1. **نمودار (۱):** * دامنه نوسان: $y_{max} = 2$. پس $|A| = 2$. * دوره تناوب: در بازه $[-\pi, 3\pi]$ (به طول $4\pi$)، ۴ سیکل کامل داریم. $T = \frac{4\pi}{4} = \pi$. * $y(0) = 2$. * تنها ضابطه **(ب) $y = 2\cos 2x$** این ویژگی‌ها را دارد. 2. **نمودار (۲):** * دامنه نوسان: $y_{max} = 1$. پس $|A| = 1$. * دوره تناوب: در بازه $[0, 4\pi]$ یک سیکل کامل رسم می‌شود. $T = 4\pi$. * $y(0) = 1$. * تنها ضابطه **(پ) $y = \cos (\frac{1}{2}x)$** این ویژگی‌ها را دارد. 3. **نمودار (۳):** * دامنه نوسان: $y_{max} = 1$. پس $|A| = 1$. * دوره تناوب: در بازه $[0, \pi]$ یک سیکل کامل رسم می‌شود. $T = \pi$. * $y(0) = -1$. * تنها ضابطه **(ت) $y = -\cos 2x$** این ویژگی‌ها را دارد. 4. **نمودار (۴):** * دامنه نوسان: $y_{max} = 1/2$. پس $|A| = 1/2$. * دوره تناوب: در بازه $[0, 4\pi]$ یک سیکل کامل رسم می‌شود. $T = 4\pi$. * $y(0) = -1/2$. * تنها ضابطه **(الف) $y = -\frac{1}{2}\cos (\frac{1}{2}x)$** این ویژگی‌ها را دارد. | نمودار | ضابطه | |:---:|:---:| | (۱) | $y = 2\cos 2x$ (ب) | | (۲) | $y = \cos (\frac{1}{2}x)$ (پ) | | (۳) | $y = -\cos 2x$ (ت) | | (۴) | $y = -\frac{1}{2}\cos (\frac{1}{2}x)$ (الف) |